Aljabar Kerja

Bayangkan sebuah mobil bergerak di jalan lurus dengan kecepatan konstan. Dalam waktu 4 sekon, mobil tersebut menempuh jarak 20 meter. Kita ingin mengetahui kecepatan mobil. Dengan menggunakan hubungan antara perpindahan, waktu, dan kecepatan, kita dapat menuliskan

Kemudian, setelah memasukkan nilai perpindahan dan waktu, kita memperoleh

Sekarang, bayangkan kita mengajukan pertanyaan yang berbeda. Bukan lagi berapa kecepatan mobil, melainkan berapa waktu yang diperlukan mobil untuk menempuh jarak 20 meter jika kecepatannya 5 m/s. Kita masih membicarakan mobil yang sama, gerak yang sama, dan hubungan fisika yang sama. Hanya pertanyaannya yang berubah.

Kita sudah mengetahui bahwa kecepatan merupakan perpindahan dibagi waktu. Dari hubungan tersebut, kita dapat menentukan waktu dengan menyusun ulang persamaan:

Kalikan kedua ruas dengan $t$, sehingga

Kemudian, bagi kedua ruas dengan $v$:

Dengan demikian, waktu yang dibutuhkan mobil adalah

Hasilnya sama dengan waktu yang diberikan pada keadaan awal. Tidak ada hukum fisika baru yang ditemukan. Kita hanya menggunakan hubungan yang sama untuk menentukan besaran yang berbeda.

Contoh sederhana ini memperlihatkan sesuatu yang penting tentang persamaan fisika. Sebuah persamaan bukanlah resep yang hanya dapat digunakan untuk mencari satu besaran tertentu. Persamaan merupakan cara matematis untuk menyatakan hubungan antara beberapa besaran. Selama hubungan tersebut tetap berlaku, kita dapat menyusun ulang persamaannya untuk memperoleh informasi yang berbeda.

Kemampuan menyusun ulang persamaan sehingga suatu variabel dapat ditentukan secara langsung disebut mengubah subjek rumus. Dalam fisika, kemampuan ini jauh lebih penting daripada sekadar menghafal banyak rumus. Ketika kita memahami bagaimana sebuah persamaan bekerja, kita tidak perlu menghafal bentuk baru setiap kali pertanyaan berubah.

Namun, sebelum membahas persamaan yang lebih rumit, kita perlu memahami apa yang sebenarnya terjadi ketika suatu persamaan diubah.

Perhatikan persamaan sederhana berikut:

Persamaan ini menyatakan bahwa nilai $x$ ditambah 5 sama dengan 12. Kita ingin mengetahui nilai $x$, tetapi penjumlahan 5 membuat variabel tersebut belum berdiri sendiri.

Untuk menghilangkan penjumlahan 5, kita mengurangkan kedua ruas dengan 5:

Hasilnya adalah

Mengapa kita harus mengurangkan kedua ruas? Mengapa tidak langsung memindahkan angka 5 ke sebelah kanan dan mengubah tandanya?

Dalam praktiknya, aturan "pindah ruas berubah tanda" memang dapat digunakan untuk mempercepat perhitungan. Akan tetapi, aturan tersebut sebenarnya merupakan cara singkat untuk menyatakan operasi yang lebih mendasar. Ketika angka 5 berpindah dari ruas kiri menjadi $-5$ pada ruas kanan, yang sebenarnya dilakukan adalah mengurangkan kedua ruas dengan 5.

Hal ini serupa dengan timbangan dua lengan: agar tetap seimbang, perubahan yang sama harus dilakukan pada kedua lengan.

Persamaan bekerja dengan prinsip yang serupa. Jika dua bentuk matematis memiliki nilai yang sama, kita dapat mempertahankan kesetaraan tersebut dengan melakukan operasi yang sama pada kedua ruas.

Bayangkan sebuah timbangan dua lengan yang berada dalam keadaan seimbang. Pada lengan kiri terdapat sebuah benda dengan massa yang belum diketahui, ditambah sebuah benda bermassa 5 kg. Pada lengan kanan terdapat benda bermassa 12 kg. Keadaan ini dapat dinyatakan secara matematis sebagai:

Persamaan tersebut menyatakan bahwa jumlah massa pada kedua lengan sama. Jika kita mengambil benda bermassa 5 kg dari lengan kiri saja, timbangan tidak lagi seimbang. Agar keseimbangan tetap terjaga, kita harus mengambil massa yang sama dari kedua lengan.

Secara matematis, tindakan tersebut berarti mengurangkan kedua ruas dengan 5:

Nilai $x$ adalah 7 kg. Perhatikan bahwa kita tidak benar-benar memindahkan angka 5 dari ruas kiri ke ruas kanan. Kita mengurangi kedua ruas dengan nilai yang sama sehingga kesetaraan tetap terjaga.

Timbangan ini merupakan analogi untuk memahami persamaan, bukan gambaran bahwa semua persamaan matematika harus memiliki interpretasi sebagai massa atau benda fisik.

Misalnya, jika

maka

Kita juga dapat mengalikan kedua ruas dengan besaran yang sama:

Prinsip ini menjadi dasar dari hampir semua manipulasi aljabar yang kita gunakan untuk mengubah subjek rumus.

Akan tetapi, ada satu hal yang perlu diperhatikan. Pembagian dengan suatu besaran hanya dapat dilakukan jika besaran tersebut tidak bernilai nol. Jika kita membagi kedua ruas dengan nol, operasi tersebut tidak terdefinisi. Karena itu, ketika mengubah subjek rumus, kita tidak hanya perlu mempertahankan kesetaraan, tetapi juga memastikan bahwa operasi yang digunakan memang diperbolehkan.

Hal ini mungkin terasa seperti aturan matematika yang sederhana. Namun, aturan inilah yang memungkinkan kita mengubah persamaan fisika yang lebih kompleks tanpa mengubah hubungan yang sedang kita pelajari.

Kita telah melihat bahwa penjumlahan dapat dihilangkan dengan pengurangan. Hubungan tersebut bukan kebetulan. Penjumlahan dan pengurangan merupakan operasi yang saling membatalkan.

Jika kita menambahkan 5 pada suatu bilangan, kemudian mengurangkannya kembali dengan 5, kita akan memperoleh bilangan semula.

Hal yang sama berlaku untuk perkalian dan pembagian, selama pembaginya tidak nol.

Operasi yang saling membatalkan ini disebut operasi invers. Dalam mengubah subjek rumus, kita menggunakan operasi invers untuk menghilangkan operasi yang sedang dilakukan terhadap variabel target.

Misalnya, perhatikan persamaan

Variabel $x$ dikalikan dengan 3, kemudian hasilnya ditambah 5. Jika kita ingin mengembalikan persamaan tersebut ke bentuk $x=\ldots$, kita harus membatalkan operasi yang dilakukan terhadap $x$.

Karena penjumlahan 5 merupakan operasi paling luar, kita membatalkannya terlebih dahulu:

Setelah itu, kita membatalkan perkalian dengan 3 melalui pembagian:

Persamaan $3x+5=20$ dapat dibaca sebagai suatu rangkaian operasi terhadap variabel $x$. Nilai $x$ pertama-tama dikalikan dengan 3, kemudian hasilnya ditambah dengan 5. Hasil akhir dari kedua operasi tersebut adalah 20.

Urutan ini penting. Operasi yang terakhir dilakukan terhadap variabel harus dibatalkan terlebih dahulu. Dengan cara tersebut, kita dapat mengembalikan persamaan ke bentuk yang hanya memuat variabel target pada satu ruas.

Perhatikan urutannya. Kita tidak langsung membagi 20 dengan 3, karena angka 5 masih merupakan bagian dari persamaan. Kita harus menghilangkan penjumlahan terlebih dahulu sebelum membatalkan perkalian.

Prinsip ini dapat diperluas ke bentuk persamaan yang lebih kompleks. Jika variabel berada dalam pecahan, kita dapat menghilangkan penyebutnya melalui perkalian. Jika variabel berada dalam beberapa suku, kita dapat mengumpulkan suku-suku yang mengandung variabel tersebut. Jika variabel muncul dalam bentuk kuadrat, kita dapat menggunakan akar kuadrat untuk memperoleh nilai yang mungkin.

Dengan kata lain, mengubah subjek rumus bukanlah proses memindahkan simbol secara acak. Kita sedang membalikkan operasi matematika yang membentuk persamaan tersebut.

Sekarang kita dapat kembali ke contoh mobil yang bergerak dengan kecepatan konstan. Hubungan antara perpindahan, kecepatan, dan waktu dinyatakan oleh

Jika kita ingin menentukan perpindahan, persamaan tersebut sudah berada dalam bentuk yang sesuai. Namun, jika kita ingin menentukan waktu, kita harus mengisolasi $t$.

Bentuk ini memperlihatkan sesuatu yang tidak langsung terlihat dari persamaan awal. Untuk perpindahan yang sama, semakin besar kecepatan mobil, semakin singkat waktu yang diperlukan.

Untuk memahami hubungan ini secara visual, bayangkan dua mobil yang menempuh lintasan lurus sepanjang 100 meter. Mobil pertama bergerak dengan kecepatan konstan 5 m/s, sedangkan mobil kedua bergerak dengan kecepatan konstan 10 m/s.

Mobil pertama membutuhkan waktu 20 sekon untuk menempuh lintasan tersebut.

Mobil kedua hanya membutuhkan waktu 10 sekon.

Kedua mobil menempuh perpindahan yang sama, tetapi waktu yang diperlukan berbeda karena kecepatannya berbeda.

Hubungan ini dapat dipahami melalui persamaan $t=s/v$. Ketika perpindahan $s$ tetap, waktu $t$ berbanding terbalik dengan kecepatan $v$. Jika kecepatan menjadi dua kali lebih besar, waktu yang diperlukan menjadi setengahnya.

Namun, hubungan ini berlaku untuk gerak dengan kecepatan konstan. Jika mobil mengalami percepatan, kecepatan berubah terhadap waktu dan persamaan $s=vt$ tidak lagi dapat digunakan dengan cara yang sama. Dalam kondisi tersebut, kita perlu menggunakan persamaan gerak yang sesuai.

Hal ini menunjukkan bahwa mengubah subjek rumus tidak mengubah kondisi berlakunya persamaan. Kita tetap harus memahami fenomena fisika yang sedang digambarkan.

Pada persamaan sederhana, variabel biasanya hanya muncul dalam satu operasi. Namun, dalam fisika, kita sering menjumpai persamaan yang mengandung pecahan, beberapa variabel, atau bahkan variabel yang muncul lebih dari satu kali.

Perhatikan persamaan tekanan:

Tekanan $P$ merupakan gaya $F$ yang bekerja pada setiap satuan luas permukaan $A$. Jika kita ingin menentukan luas permukaan, kita perlu mengubah subjek rumus menjadi $A$.

Persamaan tersebut dapat dibaca sebagai gaya yang dibagi luas permukaan. Untuk menghilangkan penyebut $A$, kita mengalikan kedua ruas dengan $A$:

Kemudian, kita membagi kedua ruas dengan $P$:

Bentuk tersebut memperlihatkan bahwa luas permukaan dapat ditentukan dari gaya dan tekanan yang bekerja.

Misalnya, sebuah gaya sebesar 100 N menghasilkan tekanan 500 Pa pada suatu permukaan. Luas permukaannya adalah

Perhatikan bahwa satuan juga ikut menunjukkan apakah manipulasi persamaan tersebut masuk akal. Satuan gaya adalah newton, sedangkan satuan tekanan adalah newton per meter persegi. Ketika gaya dibagi tekanan, satuan newton saling menghilangkan dan menghasilkan meter persegi, sesuai dengan besaran yang sedang dicari.

Pemeriksaan satuan seperti ini merupakan cara sederhana untuk mendeteksi kesalahan aljabar dalam fisika.

Sekarang, kita dapat melihat bentuk yang sedikit lebih kompleks:

Misalkan $F$ merupakan gaya dorong yang diberikan pada benda, $ma$ merupakan resultan gaya yang bekerja pada benda, dan $f$ merupakan gaya hambat yang melawan gerak.

Jika kita ingin menentukan percepatan $a$, kita perlu menghilangkan suku $f$ terlebih dahulu. Kita mengurangkan kedua ruas dengan $f$:

Kemudian, kita membagi kedua ruas dengan massa $m$:

Bentuk tersebut memperlihatkan bahwa percepatan bergantung pada selisih gaya dorong dan gaya hambat, bukan hanya pada gaya dorong.

Jika $f=0$, persamaan kembali menjadi

yang merupakan bentuk dasar Hukum II Newton.

Perhatikan bagaimana persamaan yang telah diubah membantu kita membaca makna fisika. Bentuk awal memperlihatkan hubungan gaya dorong dengan percepatan. Bentuk yang telah diubah memperlihatkan bagaimana percepatan bergantung pada massa dan gaya-gaya yang bekerja.

Ada persamaan yang tidak dapat diselesaikan hanya dengan menghilangkan satu operasi dari variabel target. Misalnya, sebuah variabel dapat muncul dalam beberapa suku sekaligus.

Perhatikan persamaan:

Anggap $a$ dan $b$ sebagai dua besaran yang nilainya diketahui. Kita ingin menentukan massa $m$. Pada ruas kanan, massa muncul dalam dua suku. Kita tidak dapat langsung membagi kedua ruas dengan $a$, karena suku $mb$ masih mengandung massa yang sama.

Kita perlu melihat struktur persamaannya.

Kedua suku di ruas kanan memiliki faktor yang sama, yaitu $m$. Dengan menggunakan sifat distributif, kita dapat menuliskannya sebagai

Sekarang, massa hanya muncul sebagai satu faktor. Kita dapat membagi kedua ruas dengan $a+b$:

Bentuk ini berlaku selama $a+b\neq0$.

Proses mengeluarkan faktor yang sama dari beberapa suku disebut pemfaktoran. Dalam konteks mengubah subjek rumus, pemfaktoran membantu kita mengisolasi variabel yang muncul di beberapa bagian persamaan.

Namun, tidak semua persamaan dapat diubah menjadi bentuk sederhana seperti ini. Jika variabel muncul dalam bentuk yang lebih kompleks, kita mungkin memerlukan metode aljabar lain, atau bahkan metode numerik untuk memperoleh solusinya.

Salah satu contoh paling penting dalam fisika adalah persamaan energi kinetik:

Persamaan ini menyatakan bahwa energi kinetik bergantung pada massa dan kuadrat kecepatan benda. Jika massa dan energi kinetik diketahui, kita dapat menentukan besar kecepatannya.

Kalikan kedua ruas dengan 2:

Kemudian, bagi kedua ruas dengan massa:

Untuk menghilangkan pangkat dua, kita mengambil akar kuadrat kedua ruas:

Mengapa terdapat dua kemungkinan nilai?

Karena ketika suatu bilangan dikuadratkan, informasi mengenai tandanya hilang. Baik bilangan positif maupun negatif dengan besar yang sama akan menghasilkan kuadrat yang sama.

Dalam fisika, kecepatan dapat dinyatakan sebagai komponen vektor yang memiliki arah. Jika kita menentukan komponen kecepatan pada suatu sumbu, nilai negatif dapat menunjukkan bahwa benda bergerak berlawanan dengan arah positif yang telah ditentukan.

Namun, jika yang dicari adalah besar kecepatan atau kelajuan, nilainya tidak negatif. Karena itu, bentuk yang digunakan adalah

Bentuk ini berlaku untuk massa positif dan energi kinetik tidak negatif.

Sekarang, kita dapat melihat bagaimana persamaan tersebut digunakan dalam suatu perhitungan. Sebuah kendaraan memiliki massa 1.000 kg dan energi kinetik 200.000 J. Besar kecepatannya adalah

Kecepatan tersebut setara dengan 72 km/jam.

Jika massa kendaraan menjadi dua kali lebih besar, sementara energi kinetiknya tetap, kecepatannya tidak menjadi setengah. Dari bentuk persamaan yang telah kita peroleh, kecepatan bergantung pada akar kuadrat massa:

Karena itu, jika massa menjadi empat kali lebih besar, besar kecepatannya menjadi setengahnya untuk energi kinetik yang sama.

Hubungan ini merupakan contoh bagaimana bentuk persamaan yang telah diubah dapat digunakan untuk memahami pola perubahan suatu besaran, bukan hanya untuk melakukan perhitungan.

Dalam optika, persamaan lensa tipis memberikan hubungan antara jarak fokus, jarak benda, dan jarak bayangan:

Jika kita ingin menentukan jarak bayangan, kita perlu mengisolasi suku yang mengandung $s'$.

Kurangi kedua ruas dengan $\frac1s$:

Samakan penyebut:

Kemudian, kalikan kedua ruas dengan $fss'$:

Setelah itu, bagi kedua ruas dengan $s-f$, selama $s\neq f$:

Persamaan tersebut menunjukkan bahwa jarak bayangan bergantung pada jarak fokus dan jarak benda.

Jika benda berada 15 cm di depan lensa cembung dengan jarak fokus 10 cm, jarak bayangannya adalah

Bayangan terbentuk 30 cm di belakang lensa.

Namun, bentuk persamaan yang telah diubah juga memberikan informasi yang lebih luas. Ketika jarak benda semakin mendekati jarak fokus dari arah yang lebih besar, penyebut $s-f$ semakin kecil. Akibatnya, jarak bayangan semakin besar.

Ketika jarak benda sama dengan jarak fokus, penyebut menjadi nol. Persamaan tidak dapat memberikan nilai jarak bayangan yang berhingga. Dalam pendekatan lensa tipis ideal, keadaan ini berhubungan dengan sinar-sinar yang keluar dari lensa secara sejajar.

Dengan demikian, mengubah subjek rumus tidak hanya membantu kita menentukan nilai yang belum diketahui. Bentuk persamaan yang telah diubah juga dapat membantu kita memahami bagaimana suatu besaran berubah ketika besaran lainnya berubah.

Mengubah subjek rumus merupakan salah satu keterampilan dasar yang menghubungkan matematika dengan fisika. Melalui manipulasi aljabar, kita dapat menggunakan satu hubungan fisika untuk menentukan berbagai besaran yang berbeda.

Namun, keberhasilan dalam mengubah subjek rumus tidak hanya ditentukan oleh kemampuan melakukan operasi matematika. Kita juga harus memahami makna setiap variabel, kondisi berlakunya persamaan, serta arti fisis dari hasil yang diperoleh.

Ketika kita memahami hal-hal tersebut, persamaan tidak lagi menjadi kumpulan simbol yang harus dihafalkan. Persamaan menjadi alat untuk membaca hubungan antarbesaran dan memahami bagaimana dunia fisik bekerja.

Ketika kita mempelajari gerak benda, sering kali kita ingin mengetahui posisi atau kecepatan benda pada suatu waktu tertentu. Untuk gerak dengan percepatan konstan, hubungan antara posisi, kecepatan awal, percepatan, dan waktu dapat dinyatakan melalui persamaan

Persamaan ini memiliki bentuk yang berbeda dari persamaan kecepatan rata-rata yang telah kita pelajari sebelumnya. Waktu $t$ tidak hanya muncul sebagai faktor pengali, tetapi juga muncul dalam bentuk kuadrat. Jika kita ingin menentukan waktu ketika benda mencapai posisi tertentu, kita harus menyelesaikan persamaan yang mengandung $t^2$.

Di sinilah persamaan kuadrat mulai berperan dalam fisika.

Bayangkan sebuah bola dilempar vertikal ke atas. Kita ingin mengetahui kapan bola berada pada ketinggian tertentu. Bola melewati ketinggian tersebut dua kali: sekali ketika bergerak naik dan sekali ketika bergerak turun. Kedua waktu tersebut berbeda, tetapi keduanya dapat memenuhi persamaan posisi yang sama.

Persamaan kuadrat memungkinkan kita memperoleh kedua kemungkinan waktu tersebut. Namun, tidak semua solusi matematis otomatis menggambarkan keadaan fisika yang sedang kita cari. Kita harus memahami bagaimana solusi itu muncul dan apa maknanya terhadap gerak benda.

Persamaan kuadrat merupakan persamaan yang memiliki variabel dengan pangkat tertinggi dua. Bentuk umumnya adalah

dengan $a\neq0$.

Huruf $a$, $b$, dan $c$ merupakan koefisien atau konstanta yang nilainya diketahui. Variabel $x$ merupakan besaran yang ingin kita tentukan.

Untuk memahami mengapa persamaan kuadrat dapat menghasilkan dua solusi, kita mulai dari contoh sederhana:

Kita ingin mengetahui bilangan yang jika dikuadratkan menghasilkan 25.

Bilangan 5 memenuhi persamaan tersebut karena

Namun, bilangan $-5$ juga memenuhi persamaan yang sama karena

Jadi, terdapat dua nilai yang memenuhi persamaan:

Persamaan $x^2=25$ dapat dipahami melalui grafik fungsi $y=x^2$. Grafik tersebut berbentuk parabola yang terbuka ke atas. Kita ingin mengetahui nilai $x$ yang menghasilkan $y=25$.

Untuk menemukannya, kita dapat membandingkan grafik $y=x^2$ dengan garis horizontal $y=25$. Kedua grafik berpotongan pada dua titik, yaitu ketika $x=-5$ dan ketika $x=5$.

Dengan demikian, persamaan $x^2=25$ memiliki dua akar real. Kedua akar tersebut merupakan nilai $x$ yang menghasilkan nilai kuadrat yang sama.

Visualisasi ini memperlihatkan bahwa akar persamaan bukan sekadar hasil perhitungan. Akar merupakan nilai $x$ pada titik perpotongan antara grafik fungsi dan garis yang mewakili nilai persamaan yang ingin kita cari.

Kedua nilai tersebut disebut akar persamaan kuadrat.

Istilah akar di sini tidak berarti bahwa kita selalu mengambil akar kuadrat dari suatu bilangan. Akar persamaan merupakan nilai variabel yang membuat persamaan bernilai benar.

Sebagai contoh, pada persamaan $x^2-25=0$, kedua nilai tersebut merupakan akar karena masing-masing membuat ruas kiri bernilai nol.

Mengapa hasilnya dapat memiliki dua kemungkinan?

Hal ini berkaitan dengan sifat operasi kuadrat. Ketika suatu bilangan dikuadratkan, tanda positif atau negatifnya tidak lagi terlihat pada hasil akhir. Bilangan 5 dan -5 menghasilkan kuadrat yang sama.

Dalam fisika, sifat ini sangat penting. Ketika kita menentukan waktu dari persamaan posisi, kedua solusi dapat menunjukkan dua waktu berbeda ketika benda berada pada posisi yang sama. Ketika kita menentukan kecepatan dari energi kinetik, kedua solusi dapat menunjukkan dua arah gerak yang berlawanan.

Artinya, dua akar bukanlah kesalahan perhitungan. Keduanya merupakan kemungkinan yang secara matematis memenuhi hubungan yang sedang kita gunakan.

Salah satu cara menyelesaikan persamaan kuadrat adalah dengan menguraikannya menjadi perkalian dua faktor.

Misalnya, kita memiliki persamaan

Kita mencari dua bilangan yang hasil kalinya 6 dan jumlahnya -5. Kedua bilangan tersebut adalah -2 dan -3.

Dengan demikian, persamaan dapat ditulis menjadi

Sekarang, kita menggunakan sifat perkalian yang menghasilkan nol. Jika hasil perkalian dua bilangan adalah nol, setidaknya salah satu faktor harus bernilai nol.

Karena itu, kita memperoleh dua kemungkinan:

atau

Sehingga

Kedua nilai tersebut merupakan akar persamaan kuadrat.

Cara ini sangat berguna ketika persamaan memiliki faktor yang mudah ditemukan. Namun, tidak semua persamaan kuadrat dapat difaktorkan dengan mudah menggunakan bilangan bulat. Dalam fisika, kita sering menjumpai koefisien yang menghasilkan akar berupa pecahan, bilangan irasional, atau bahkan tidak memiliki akar real.

Karena itu, kita memerlukan metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat secara umum.

Persamaan kuadrat dalam bentuk umum dapat diselesaikan menggunakan rumus kuadrat. Rumus ini diperoleh melalui proses melengkapkan kuadrat sempurna, yaitu menyusun persamaan sehingga salah satu ruas menjadi bentuk kuadrat dari suatu ekspresi.

Rumus kuadrat memberikan dua kemungkinan akar. Di dalamnya terdapat suatu ekspresi yang disebut diskriminan, yaitu bagian yang menentukan jenis akar yang dimiliki persamaan.

Jika diskriminan positif, terdapat dua akar real berbeda. Jika diskriminan nol, kedua akar berimpit sehingga hanya terdapat satu nilai real yang memenuhi persamaan. Jika diskriminan negatif, tidak terdapat akar real.

Diskriminan dapat digunakan untuk mengetahui jumlah akar real suatu persamaan kuadrat tanpa harus menghitung nilai akarnya satu per satu.

Hubungan ini dapat dipahami melalui grafik parabola. Ketika diskriminan bernilai positif, grafik memotong sumbu $x$ pada dua titik. Ketika diskriminan bernilai nol, grafik hanya menyentuh sumbu $x$ pada satu titik. Ketika diskriminan bernilai negatif, grafik tidak memotong sumbu $x$ sama sekali.

Perbedaan tersebut menunjukkan bahwa diskriminan berkaitan dengan jumlah titik potong grafik terhadap sumbu $x$. Dalam konteks persamaan kuadrat, nilai $x$ pada titik potong tersebut merupakan akar real persamaan.

Sebagai contoh, persamaan $x^2-4=0$ memiliki dua akar real, persamaan $x^2=0$ memiliki satu akar real kembar, sedangkan persamaan $x^2+4=0$ tidak memiliki akar real.

Dalam fisika klasik, akar real biasanya diperlukan ketika kita mencari besaran seperti waktu, posisi, atau panjang yang harus memiliki nilai nyata. Namun, kita tidak boleh langsung menyimpulkan bahwa persamaan dengan diskriminan negatif selalu tidak memiliki makna fisika. Kita harus terlebih dahulu memahami besaran yang sedang dicari dan model matematis yang digunakan.

Sebuah bola dilempar vertikal ke atas dari permukaan tanah dengan kecepatan awal 20 m/s. Kita ingin mengetahui kapan bola berada pada ketinggian 15 meter.

Untuk gerak vertikal dengan percepatan gravitasi konstan, posisi bola terhadap waktu dapat dituliskan sebagai

Kita memilih arah ke atas sebagai arah positif. Karena bola dilempar dari permukaan tanah, $y_0=0$. Kecepatan awalnya $v_0=20\text{ m/s}$, dan percepatan gravitasi bernilai sekitar $9{,}8\text{ m/s}^2$ ke bawah.

Dengan memasukkan nilai-nilai tersebut, kita memperoleh

Ketika bola berada pada ketinggian 15 meter, $y=15$. Maka

Susun ulang persamaan sehingga seluruh suku berada pada satu ruas:

Persamaan ini merupakan persamaan kuadrat dalam variabel $t$. Kita ingin menentukan waktu yang memenuhi persamaan tersebut.

Dengan menggunakan rumus kuadrat, diperoleh

Setelah menyederhanakan perhitungan, kita mendapatkan dua kemungkinan waktu:

dan

Kedua waktu tersebut memenuhi persamaan posisi bola.

Namun, mengapa terdapat dua waktu?

Untuk memahaminya, kita perlu kembali ke gerak bola. Setelah dilempar, bola bergerak ke atas dengan kecepatan yang semakin kecil karena gravitasi bekerja ke bawah. Pada suatu saat, bola mencapai titik tertinggi dan kecepatan vertikalnya menjadi nol. Setelah itu, bola bergerak turun dan melewati ketinggian 15 meter sekali lagi.

Jika kita memilih ketinggian 15 meter sebagai acuan, bola melewati ketinggian tersebut sebanyak dua kali. Peristiwa pertama terjadi ketika bola bergerak naik, sekitar 0,99 sekon setelah dilempar. Peristiwa kedua terjadi ketika bola bergerak turun, sekitar 3,09 sekon setelah dilempar.

Kedua waktu tersebut merupakan solusi dari persamaan posisi yang sama. Perbedaannya terletak pada keadaan gerak bola ketika melewati ketinggian tersebut.

Visualisasi ini membantu kita memahami bahwa dua akar persamaan kuadrat dapat mewakili dua peristiwa fisika yang berbeda, bukan sekadar dua angka yang diperoleh dari perhitungan.

Sekarang, bayangkan pertanyaannya diubah menjadi:

"Berapa waktu yang diperlukan bola untuk mencapai ketinggian 15 meter ketika bergerak naik?"

Kita tidak lagi membutuhkan kedua waktu. Kita hanya membutuhkan waktu ketika bola bergerak naik, yaitu sekitar 0,99 sekon.

Namun, jika pertanyaannya adalah:

"Berapa waktu yang diperlukan bola untuk kembali melewati ketinggian 15 meter ketika bergerak turun?"

Maka kita menggunakan waktu sekitar 3,09 sekon.

Perhatikan bahwa kita tidak membuang salah satu akar karena nilainya negatif atau karena rumus kuadrat menghasilkan dua jawaban. Kita memilih akar berdasarkan kondisi fisika yang dinyatakan dalam pertanyaan.

Inilah salah satu prinsip penting dalam penyelesaian masalah fisika: solusi matematis harus ditafsirkan berdasarkan fenomena yang sedang dianalisis.

Dalam contoh bola tadi, kedua waktu bernilai positif dan keduanya menggambarkan keadaan fisika yang mungkin terjadi. Karena itu, tidak ada alasan untuk membuang salah satunya sebelum kita memahami pertanyaannya.

Sekarang, kita ubah pertanyaannya.

"Berapa waktu yang diperlukan bola untuk berada pada ketinggian 30 meter?"

Kita menggunakan persamaan posisi yang sama:

Susun ulang:

Persamaan ini memiliki diskriminan

Diskriminan bernilai negatif, sehingga tidak terdapat akar real.

Apa artinya?

Bola tidak pernah mencapai ketinggian 30 meter dalam model gerak yang digunakan. Kecepatan awalnya tidak cukup besar untuk membawa bola setinggi itu sebelum gravitasi menghentikan gerak naiknya.

Dalam keadaan ini, tidak ada waktu real yang memenuhi persamaan posisi tersebut. Kita tidak dapat memilih akar yang masuk akal secara fisika karena memang tidak ada akar real yang menggambarkan peristiwa tersebut.

Contoh ini memperlihatkan bahwa diskriminan tidak hanya membantu kita menyelesaikan persamaan. Diskriminan juga dapat memberikan informasi tentang kemungkinan suatu keadaan fisika.

Untuk memahami prinsip ini lebih dalam, kita dapat menggunakan contoh sederhana dari persamaan gerak.

Misalkan sebuah benda bergerak dengan kecepatan awal 10 m/s dan percepatan konstan 2 m/s². Kita ingin menentukan kapan benda berada pada posisi 12 meter dari titik awal.

Persamaan posisinya adalah

Substitusikan nilai yang diketahui:

Susun ulang:

Persamaan tersebut menghasilkan dua akar, yaitu satu waktu positif dan satu waktu negatif.

Secara matematis, keduanya memenuhi persamaan. Namun, jika kita hanya membahas gerak benda setelah waktu awal $t=0$, akar negatif tidak menggambarkan waktu yang sedang kita cari.

Akar negatif tersebut menunjukkan bahwa persamaan gerak yang sama, jika diekstrapolasi ke waktu sebelum $t=0$, akan menempatkan benda pada posisi yang sama. Namun, jika kondisi awal hanya didefinisikan untuk gerak setelah $t=0$, akar tersebut berada di luar interval waktu yang sedang dianalisis.

Dengan demikian, kita harus membedakan antara dua hal:

Persamaan dapat memiliki beberapa solusi matematis, tetapi pertanyaan fisika dapat membatasi solusi mana yang relevan.

Batasan tersebut dapat berasal dari waktu yang sedang dianalisis, arah gerak, posisi benda, atau kondisi lain yang dinyatakan dalam masalah.

Persamaan kuadrat muncul ketika suatu hubungan fisika mengandung variabel berpangkat dua. Persamaan tersebut dapat menghasilkan dua akar, satu akar, atau tidak memiliki akar real, bergantung pada nilai koefisiennya.

Namun, akar persamaan bukan sekadar angka yang diperoleh dari rumus kuadrat. Setiap akar harus ditafsirkan berdasarkan makna variabel dan kondisi fisika yang sedang dianalisis.

Ketika sebuah bola melewati ketinggian yang sama saat bergerak naik dan turun, dua akar dapat menggambarkan dua peristiwa yang berbeda. Ketika suatu benda tidak mungkin mencapai posisi tertentu, persamaan kuadrat dapat menunjukkan bahwa tidak terdapat akar real yang sesuai.

Karena itu, menyelesaikan persamaan kuadrat dalam fisika tidak berhenti ketika kita memperoleh nilai variabel. Kita masih harus memahami apa yang diwakili oleh setiap solusi dan apakah solusi tersebut benar-benar menggambarkan keadaan fisika yang sedang kita pelajari.